变分贝叶斯变量选择后恢复潜在结构：因子分析评估新框架

背景

在心理测量、行为科学和社会科学中，因子分析（Factor Analysis）是探索潜在结构的主流工具。传统上，研究者需要在完全探索性（Exploratory Factor Analysis, EFA）和完全验证性（Confirmatory Factor Analysis, CFA）之间做出选择：EFA 允许所有项目自由加载到所有因子上，但缺乏先验约束；CFA 则强制指定每个项目只加载到特定因子上，对先验知识要求高。部分探索性因子分析（Partially Exploratory Factor Analysis, PEFA）作为折中方案，允许研究者对部分载荷进行弱指定（例如，已知某些项目属于某个因子，但其他项目可自由加载），从而更灵活地匹配实际理论建构。

然而，PEFA 的估计存在两个关键挑战：一是载荷结构（哪些项目加载到哪些因子）本身是未知的，需要从数据中推断；二是因子数量（Factor Number）也需要同时确定。近年来，基于变分贝叶斯（Variational Bayes）的变量选择方法被引入到部分验证性因子分析（Partially Confirmatory Factor Analysis, PCFA）中，通过 spike and slab 先验对未指定的载荷进行贝叶斯变量选择，从而自动恢复稀疏结构（称为 PCFA VA）。但该方法在收敛后，缺乏一套系统的后选择评估框架来评估模型拟合质量、选择最优因子数，以及比较不同规范下的结果。

本文正是针对这一空白，提出了一套完整的后选择评估框架，包括硬选择和软选择两种处理方式，导出自由度、绝对拟合指标（RMSEA、SRMR、CFI、TLI）和相对拟合标准（AIC、BIC、ELBO），并专门设计了用于确定因子数的无尺度增益规则（scale free gain rule with sustained drop guard）。通过模拟和真实数据（100 项 PID 5 问卷）验证了该框架的有效性。

核心内容

本文的核心贡献在于为 PCFA VA 方法提供了一套系统的后选择评估与因子数选择工具。具体技术路线如下：

1. 载荷结构的后处理：硬选择与软选择

PCFA VA 使用 spike and slab 先验对每个未指定的载荷估计一个包含概率（inclusion probability，即该载荷非零的后验概率）。收敛后，有两种方式将概率转化为可用于协方差结构建模的载荷模式：

• 硬选择（Hard Selection）：设定一个阈值（通常为 0.5），将包含概率大于阈值的载荷视为“包含”（保留其估计值），小于阈值的视为“排除”（设为 0），从而得到一个稀疏的载荷矩阵。
• 软选择（Soft Selection）：保留所有载荷的后验均值，但将包含概率作为权重，用于计算有效参数数量（effective parameter counts）。软选择不强制稀疏，而是通过权重反映不确定性。

2. 拟合诊断指标

基于硬选择或软选择后的载荷矩阵，可以重建隐含的协方差矩阵（模型隐含协方差）。然后计算：

• 绝对拟合指标：RMSEA（Root Mean Square Error of Approximation）、SRMR（Standardized Root Mean Square Residual）、CFI（Comparative Fit Index）、TLI（Tucker-Lewis Index）。这些指标评估模型与观测数据之间的差异程度。
• 相对拟合指标：AIC（Akaike Information Criterion）、BIC（Bayesian Information Criterion）、ELBO（Evidence Lower Bound，变分下界）。这些指标用于比较不同模型（不同因子数或不同载荷结构）的优劣。

文章推导了这些指标在硬选择和软选择两种情形下的自由度（degrees of freedom），因为有效参数数量会因载荷的稀疏性而改变，不能直接使用默认的自由度。

3. 因子数选择：无尺度增益规则

因子数选择是 PEFA 的核心难题之一。传统方法（如基于 AIC/BIC 的极小值选择）容易过度因子化（over-factoring），即选择过多的因子。本文提出了一种新的规则：无尺度增益规则（scale free gain rule），并辅以持续下降防护（sustained drop guard）。

具体做法：对于候选因子数 k（从 1 到某个最大可能值），计算从 k-1 到 k 时的增益（gain），例如 ELBO 的增量。增益被标准化为无尺度形式（即除以某个基准，使其不依赖于数据尺度）。然后，选择增益首次出现“持续下降”之前的因子数：即当增益序列从单调递增转为下降，且下降趋势持续至少若干步时，取下降前的峰值对应的因子数。该规则天然避免了原始标准（如直接取 ELBO 最大值）的过因子化问题。

4. 模拟研究

作者通过蒙特卡洛模拟验证了框架的性能：

• 绝对拟合指标（RMSEA、SRMR、CFI、TLI）能够成功追踪载荷恢复质量，并在因子数不足（under-factoring）时发出警告信号（例如 RMSEA 变高、CFI 变低）。
• 如果直接使用原始标准（如 ELBO 最大值或 BIC 最小值）来选择因子数，结果倾向于过度因子化（选择过多的因子）。
• 而本文提出的无尺度增益规则，无论使用 ELBO、AIC 还是 BIC 作为增益基础，均能准确恢复真实的因子数。其中，基于 ELBO 的增益规则最为稳健，即使在数据生成存在复杂结构时也表现良好。

5. 实证应用：100 项 PID 5 问卷

PID 5（Personality Inventory for DSM-5）是用于评估人格障碍维度特征的 100 项量表。本文将该量表应用于 PCFA VA 框架，并与一个已有的确认性 25 面模型（confirmatory 25 facet model）进行对比。结果显示：

• PCFA VA 模型的拟合优度全面优于确认性 25 面模型（RMSEA、SRMR、CFI、TLI 均更优）。
• 通过无尺度增益规则确定的因子数，在不同载荷规范（specification）下（即不同的先验指定方式）能够一致地恢复出主要的潜在结构，验证了方法的跨规范一致性。

关键要点

• **PCFA VA