数学家证明：折纸甜甜圈的最少折叠次数为8次

来源：Hacker News / Science X Network 作者：Krystal Kasal 科学编辑：Sadie Harley 副编辑：Robert Egan 发布日期：2026年6月1日

背景

大多数人可能不会想到，要证明用一张纸折叠出一个“甜甜圈”形状（数学上称为环面，Torus）最少需要多少次折叠，竟然需要严谨的数学证明。然而，直到最近，这个问题依然困扰着数学界，无人能给出确切答案。

在拓扑学和计算几何领域，虽然理论上已经证明了用纸张构建环面是可行的，但关于其“效率”的量化研究却长期处于空白状态。效率在此处被定义为构建结构所需的顶点数量、三角形数量或折叠边的数量。早期的人工折纸作品往往包含数千个顶点，而近期的研究虽然将这一数字大幅降低至10个或9个，但关于是否存在更优解（即7个或8个顶点）的争论一直未决。

核心内容

在最新发表于《美国国家科学院院刊》（Proceedings of the National Academy of Sciences, PNAS）的论文中，数学家 Richard Evan Schwartz 提供了关于构建环面所需最少折叠次数的详细证明。他不仅确定了理论下限，还通过数学分析与计算机辅助实验相结合的方法，找到了最优解。

从“披萨”到“环面”：顶点的度量意义

在实际操作中，折纸环面是通过折叠有限数量的三角形拼接而成的。这些三角形必须满足一个严格的几何条件：在每个顶点处，所有汇聚于此的三角形的角度之和必须等于 $2\pi$（即360度）。

Schwartz 在论文中提供了一个直观的类比：这就像是将披萨片的尖端角度相加，最终拼成一个完整的圆形披萨。在这种构造中，顶点（Vertices）的数量成为衡量构建效率的关键指标。

Schwartz 写道：“像许多数学问题一样，我们可以通过优化的视角来看待纸环面。既然它们存在，我们能否高效地制作它们？我不知道这个问题最早是什么时候被提出的，但除了确认其存在性之外，这似乎是我们想要了解纸环面的第一件事。”

他指出，顶点数量是一个很好的效率度量标准，因为它等同于三角剖分中最少的三角形数量，或者折叠的最少边数。

寻找最小顶点数：从7到9的博弈

早期的纸环面示例通常包含数千个顶点。随着技术的发展，近期的研究证明折纸环面可以用10个或9个顶点制成。Schwartz 指出，显然纸环面至少需要7个顶点，因为少于7个顶点的环面三角剖分在数学上是不存在的。

这就留下了一个悬而未决的问题：最小顶点数究竟是7、8还是9？

证明8是理论极限

Schwartz 利用数学分析和计算机实验的组合方法，得出了决定性结论：

1. 排除7个顶点：他证明了仅用7个顶点构建纸环面是不可能的。
2. 确认8个顶点可行：他发现存在一种由8个顶点构成的折纸环面，这意味着8是理论上可能的最紧凑构造。

他的论文不仅提供了数学证明，还展示了一种计算机辅助方法来寻找这8个顶点的解决方案。

“狗屋帐篷”与折纸现实

尽管 Schwartz 是一位擅长确定莫比乌斯带（Möbius strip）最短长度的数学家，但他承认自己无法亲手折叠出这个甜甜圈形状。他将这种满足特定属性的8顶点纸环面家族称为“狗屋帐篷”（pup tent）。

为了帮助读者理解，Schwartz 在论文中提供了一个模板链接。他写道：“有些读者可能喜欢亲手制作一个‘狗屋帐篷’。我的论文里有一个链接，你可以复制并努力将其折叠成‘狗屋帐篷’。我必须承认，我无法成功折叠自己的模板，但我那些擅长折纸的朋友可以轻松地做到。”

关键要点

• 最优解确认：Richard Evan Schwartz 证明了用纸张构建环面（甜甜圈形状）的最少顶点数为 8。
• 理论下限：少于7个顶点的三角剖分在数学上不存在，因此7是理论下限，但实际构造不可行。
• 方法论创新：研究结合了传统的数学分析与计算机辅助实验，既证明了7顶点方案的不可行性，又找到了8顶点方案的具体构造。
• 效率指标：在折纸几何中，顶点数量直接反映了构建效率，等同于最少三角形数量或最少折叠边数。
• 可视化类比：折纸环面的构建类似于将多个三角形的角度在顶点处汇聚，总和需达到360度（$2\pi$）。
• 实践难度：尽管数学上已证明8顶点方案存在，但实际手工折叠极具挑战性，甚至作者本人都无法仅凭模板完成，需依赖专业折纸技巧。

意义与影响

虽然这项研究看似与日常生活无关，但其深层意义在于为“最小化折叠或构建”的设计原则提供了深刻的见解。

1. 跨学科应用：这种对效率极致的追求，可以为建筑学、材料科学和艺术领域提供灵感。在这些领域中，如何在保证结构完整性的前提下，使用最少的材料或步骤进行构建，是一个核心挑战。
2. 教育价值：该研究可作为极佳的教育工具，用于教授几何学及其与艺术之间的联系。它展示了抽象数学概念如何转化为具体的物理构造，并揭示了自然界和人造结构中隐藏的几何规律。
3. 数学严谨性：Schwartz 的工作填补了折纸几何中关于环面效率的一个长期空白，展示了纯数学理论与计算机辅助验证在现代科学研究中的强大结合力。

本文基于 Krystal Kasal 撰写、Sadie Harley 编辑、Robert Egan 事实核查的文章。 原文引用：Richard Evan Schwartz, The most efficient origami torus, Proceedings of the National Academy of Sciences (2026). DOI: 10.1073/pnas.2523301123