BQN：什么是“原语”（Primitive）？

背景

在数组编程语言（Array Programming）的社区中，BQN 的设计者经常面临一个疑问：BQN 中的“原语”（Primitives，即语言中最基础、不可再分的操作符集合）究竟是如何被选定的？

对于不熟悉数组编程的外部人士而言，他们可能会误以为 APL（BQN 的前身及灵感来源）的“核心理念”仅仅是将最常见的任务用符号而非名称来书写。甚至像 Edsger W. Dijkstra 这样的计算机科学家也曾批评 APL 是一个“技巧袋”（bag of tricks）。作者认为这种观点并不准确。

本文旨在阐述作者个人对于为何要将某些特殊操作称为“原语”并赋予其专用符号的看法。虽然这一观点与其他数组语言设计者的思想有重叠之处，但此处仅代表作者个人的思考。文章将首先讨论为何不应将某些函数视为原语，进而分析符号的局限性，最后深入探讨原语设计的哲学基础及其数学本质。

核心内容

语言与符号的权衡：为何不将所有操作都符号化？

要理解为何只有一小部分操作被定义为原语，首先需要理解符号（Symbols）的劣势。如果所有操作都使用符号，会带来以下问题：

1. 表意精度：单词（Words）能更精确地传达含义。
2. 组合灵活性：单词可以通过更复杂的方式进行修改或组合。
3. 语义丰富度：拥有既定含义的单词数量远多于符号。
4. 输入与发音：单词更容易输入和发音。

语言（即自然语言）比符号系统提供了更多的可能性和细微差别。如果存在两个相关概念，通常可以赋予它们既体现关联又体现差异的名称（例如 KeepBefore 和 KeepUpTo）。相比之下，符号难以表达这种细微差别：仅能使用少数几种广泛的关系表示法，如镜像反射（这容易出错！）或并置（juxtaposition）。

然而，细微的单词也可能成为负担。如果某种操作只有一种可能的实现方式，那么一个精心选择的符号可能比单词更能清晰地指示其含义，且更容易记忆。

此外，语法角色（Syntactic role）也是 BQN 设计中的一个关键因素。在 BQN 中，字母大小写和下划线允许任何单词以任意角色书写；而原语具有固定的角色。如果一个值既可能被调用为函数，也可能作为参数传递，使用名称会比使用符号更易于处理。

原语设计：发现而非发明

语言设计既是发现的过程，也是发明的过程，但作者认为原语的设计应主要基于发现（Discovery）。

• 发明（Invention）：如果一个函数感觉像是被“发明”出来的——甚至更糟，是被“工程化”出来的——那么它就不适合成为 BQN 的原语。发明总会留下发明者的印记，包括那些本可以做出不同选择的小决定。
• 发现（Discovery）：意味着被讨论的事物在某种程度上独立于描述它的人之外。如果两个不同的人“发现”了同一个事物，他们得到的将是完全相同的东西。

当然，界限并非总是如此清晰。不可否认，整个原语集合的构建本身就是一种工程行为。虽然作者认为将符号更多地用于“更像原语”的事物，将单词更多地用于“较不像原语”的事物是一个好主意，但这为不同语言风格留下了空间：有些语言（如 APL）可以更广泛地使用符号，而有些语言（如 Python）可以更广泛地使用单词，以侧重不同的功能或选择不同的原语。

作者承认某些工程行为是可以接受的，前提是目的是为了让底层原语功能更易于访问。例如：

• Range (↕)：结合了两个定义域不重叠的原语函数。
• Rank (⎉)：将几个数字插入到一个任意排序的列表中。

尽管作者认为这些设计略显遗憾，但为了增加便利性，它们是可接受的。

高质量思维工具的特征

是否存在等待被发现的“原语”？作者认为存在。像加法、映射或将一个列表连接到另一个列表这样的基本概念，任何能够发展出编程技术的社会都会重新发明它们，并且具有完全相同的含义。

为了更务实地筛选原语，作者提出了一些与“高质量思维工具”相关的属性：

1. 简单的数学描述（或不止一种）。
2. 基于约束的简单规范。
3. 可用于实现其他操作。
4. 很少或没有有用的变体。

这些属性往往相互关联。例如，如果一个函数的结果可以通过两组独立的约束集来指定，那么定义一个在某些参数上不同的变体通常是没有意义的，因为它不会遵循相同的约束。此外，复杂事物通常由更简单的事物实现，因此能优雅实现其他操作的函数往往本身也更简单。

原语的额外优势

符合上述标准的操作通常还具备其他意想不到的优势：

• 需要关注的边缘情况（Edge cases）更少。
• 在多个领域都相关。
• 实现效率高（理论上和在硬件层面）。
• 原语的组合能产生有用的功能。
• 原语之间的关系可用于数学证明。

作者指出，算术函数 +-×÷ 是任何人都同意符合上述描述的一类函数。它们是不可或缺的工具，有趣的是，在几乎所有语言中，它们都用符号表示（尽管符号可能不同）。

数学结构与“民间定理”

为什么像加法这样广泛有用的函数会存在？这是数学结构性的一个例子。即使你不认为编程是数学，它也可以被数学描述。数学通过事实约束行为来构建自身结构。这种结构可能表现为数学家可以证明的定理、无法证明的定理，或有时被称为“民间定理”（Folk theorems）的模糊思想。

一个很好的例子是 Ulam 螺旋（Ulam's spiral），它展示了素数倾向于遵循算术模式的趋势。虽然关于特定模式有一些证明，关于其他模式有一些猜想，但关于素数在任何简单算术排列中都会显示模式的更广泛的“民间定理”过于模糊，甚至无法证明，但它为领域内的数学家提供了大量的支持证据和实用价值。

“民间定理”类似于编程中的设计模式，它们可以指导或描述实现，但不直接出现在代码中。相反，原语是精确指定的操作，因此既可用于组织代码，也可直接用于代码中。

符号与代数操作

原语遵循数学规则——例如，减法抵消加法。原语序列可以使用这些规则进行代数操作，转换为执行相同计算的不同序列。符号非常适合代数操作，因为阅读它们所需的认知开销较低，这使得更容易识别符号组并移动它们。程序员仍然需要选择进行哪些更改，但原语符号使得正确执行这些更改变得更加容易。

BQN 的三大领域

APL 添加了一些在其他语言中不常见的算术原语，但其主要贡献在于数组原语。包括 BQN 在内的后续 APL 系列语言还添加了组合子（Combinators）——用于处理函数的隐式原语（数学中确实有组合运算 ∘；区别在于 APL 的组合子用于处理一个或两个参数的函数）。

BQN 中三个主要领域（算术、函数、数组）存在的主要原因很简单：这些是 BQN 中用于计算的主要类型。有趣的是，BQN 中没有命名空间原语。在 BQN 中，命名空间用于代码组织，而非计算。这与 C 语言中的数组类似：数组不是计算的对象，因此虽然存在用于处理指针的运算符（加法、引用和解引用），但它们本身不是计算的核心原语。

关键要点

• 原语的定义：原语是语言中最基础、不可再分的操作，具有固定的语法角色，通常用专用符号表示。
• 符号 vs 单词：单词表意更精确、组合更灵活，但符号在表达单一、确定的概念时更简洁、易记，且更利于代数操作和代码压缩。
• 发现而非发明：好的原语应当是被“发现”的客观真理（如加法），而非被“发明”的工程产物。发明总会带有设计者的主观印记，而发现具有普遍性。
• 筛选标准：高质量的原语具备简单的数学描述、基于约束的规范、可组合性以及极少变体。
• 额外优势：符合标准的原语通常边缘情况少、跨领域通用、实现