沉寂700年，13世纪枚举算法重获关注

背景

本文是一系列文章的第一篇，探讨了我在研究卡巴拉学者 Abraham Aboulafia（1240 – 1291年后）著作中 Tserouf 时的一项发现。Tserouf 是卡巴拉中排列字母的艺术——用纯数学术语来说，就是枚举一个 n 字母单词的所有排列。

在《Or ha-Sekhel》（“智慧之光”）中，Aboulafia 规定了一种系统方法，用于枚举 n 字母单词所有可能的排列方式。该方法虽然构思于精神实践的框架内，却承载着异常严谨的数学结构。

核心内容

对于三字母单词，Aboulafia 明确给出了 Tserouf——即全部六种排列的次序： 单词按首字母分为三组：

• 首先，以 a 开头的单词；
• 然后，以 b 开头的单词；
• 最后，以 c 开头的单词。

三字母的两条规则

Aboulafia 明确提到了三字母 Tserouf 的两条规则：

规则1——镜像。 整个序列必须以起始序列的逆序结束。Aboulafia 直言：“最后一个话语是第一个的逆序。”第一个单词是 abc；最后一个必须是 cba，即首尾完全颠倒。

规则2——固定首位。 在放弃首位字母之前，尽可能长时间地保留它。你先穷尽所有以 a 开头的单词，然后所有以 b 开头的单词，最后是以 c 开头的单词。首位在必须改变之前保持不变。

这两条规则几乎足以强制确定整个三字母的顺序。“固定首位”规则将三组按 a、b、c 的顺序排列。在每组内部，只有最后两个字母可以交换；而镜像规则固定了第一组（必须以 abc 开始）和最后一组（必须以 cba 结束）。

但有一个情况困扰了我：为什么 bca 排在 bac 之前，而不是相反？两条规则似乎都没有强制这一点。

这一个微小的问题是整个发现的引擎。有时一个简单的问题结果却弥足珍贵。我花了几个月都无法放下它——而事实证明，正是对这个问题的追寻，引出了本系列的一切。

从 n 到 n+1：转动轮子

如何从三字母的顺序推导出四字母的顺序？Aboulafia 给出了另一条规则，也是整个方法的核心：

回到开头，将第一个字母发送到单词末尾。

也就是说，将单词循环移位一位。abcd 变成 bcda，变成 cdab，变成 dabc——四次旋转，四个首位，四个组。在每个组内，对剩余字母应用同样的方法。

四行中的每一行都由单词的一个循环移位打头，而每一行都是对剩余字母应用三字母顺序的完整副本。

统一规则

以下揭示了 Aboulafia 的天才之处。整个流程——无论对于三个字母、四个字母、十个字母还是任意数量的字母——都由一个操作掌控，该操作在每个尺度上反复应用：将第一个字母发送到末尾。

正是这个单一的旋转操作，在顶层让你从一个组进入下一个组。也是同样的旋转操作，应用于剩余字母，在下一级构建每个组。再下一级也是如此。一个单一的动作贯穿了整个排列的嵌套层级。该方法不会因为单词变长而变得更复杂；它只是对越来越短的子单词重复应用同样的移动。

这正是计算机科学家所说的递归算法——而且是一种极其简洁的算法。该规则易于陈述，却能生成全部 n! 种排列，每种一次，且最终回到起点。

Aboulafia 在本章第一行就命名了整个方法： “这条规则容易理解；虽然它没有我们可以把握的终点，但它必然有一个终点。” 三个分句，三个时刻：规则是简单的；它所展开的东西超出了任何我们能记住的范围；然而这个行走是有限的——它闭合，它必然有一个终点。

唯一做过这件事的人

当时我不知道这件事有多么重要。

直到17世纪，除了 Aboulafia，没有其他人给出过任何排列的次序。其他所有传统——其他所有卡巴拉学者——只是将它们列在表格中。那个介于 bca 和 bac 之间的小小选择，是世界上唯一系统方法看得见的尖端。

有一个惊人的历史对照。唯一独立发明基于规则的遍历所有排列方法的其他人，是17世纪的英国敲钟人。

敲钟人在钟楼里找到了他们的顺序；Aboulafia 在精神实践中找到了他的。不同的世界，相同的目的：一种遍历排列全部空间、不遗漏不重复的方法。而 Aboulafia 在13世纪就做到了——比敲钟人早了三百年，比计算机科学早七百年。

未来走向

因此，Aboulafia 给出了一个真正的用于排列的递归算法。仅此一点就足以成为一个不错的历史注脚。但还有更多。

他的确切次序恰好与数学家 Shimon Zaks 在1984年发表的一个算法相吻合——后者通过完全不同的路径得出，并建立在年轻时的 Bill Gates 在其唯一科学论文中研究过的一个操作之上。那是下一篇文章的内容。

关键要点

• Aboulafia 在13世纪提出了一种系统枚举 n 字母单词所有排列的方法，称为 Tserouf。
• 对于三字母情况，他明确给出了两条规则：镜像规则（序列首尾互为逆序）和固定首位规则（尽可能保留首位字母）。
• 从三字母扩展到四字母时，核心规则是“将第一个字母发送到末尾”——即循环移位一位，然后对剩余字母递归应用同样方法。
• 该算法本质上是递归算法：在所有尺度上重复同一旋转操作，自动生成所有排列且不重复。
• 直到17世纪，除 Aboulafia 外没有人给出过明确的排列次序；唯一独立发明类似方法的是英国敲钟人，但晚了300年。
• Aboulafia 的次序与1984年 Shimon Zaks 的算法一致，且与 Bill Gates 早年研究过的操作相关。

意义与影响

Aboulafia 的算法是人类历史上已知最早的排列枚举系统方法，比西方数学界和计算机科学的类似成果早了数百年。它不仅具有数学上的严谨性，还体现了递归思想——这一概念直到20世纪计算机科学兴起后才被广泛认知和应用。

该发现将卡巴拉神秘主义传统与严谨的数学结构联系起来，展示了前现代思想中蕴含的计算思维。Aboulafia 的算法与17世纪英国敲钟人的独立发明、20世纪 Zaks 的数学研究以及 Bill Gates 的学术工作形成了跨越时空的呼应，证明了人类在探索排列组合问题上的共同智力追求。

本系列后续文章将深入探讨 Aboulafia 算法与现代计算理论的惊人重合，以及它如何揭示出比单纯的历史趣闻更深远的意义。