2018年应用范畴论课程发布

背景

这篇内容来自 Hacker News 上分享的一份课程大纲，标题为 Applied Category Theory Course (2018)。该课程由数学家 John Baez 讲授，基于 Brendan Fong 和 David I. Spivak 合著的教材《Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory》。课程页面由 Simon Burton 整理为美观的网页形式，并在 2018 年发布。课程旨在将范畴论（Category Theory）这一抽象数学工具应用于实际问题，如资源理论、数据库设计和协作设计等，降低入门门槛，吸引更多非数学专业的学习者。

核心内容

本课程共包含 77 讲，分为四个主要章节，以下是完整内容翻译与呈现：

第一章：有序集（Ordered Sets）

• 第 1 讲：引言
• 第 2 讲：什么是应用范畴论？
• 第 3 讲：预序（Preorders）
• 第 4 讲：Galois 连接（Galois Connections）
• 第 5 讲：Galois 连接（续）
• 第 6 讲：计算伴随（Computing Adjoints）
• 第 7 讲：逻辑（Logic）
• 第 8 讲：子集的逻辑（The Logic of Subsets）
• 第 9 讲：伴随与子集的逻辑（Adjoints and the Logic of Subsets）
• 第 10 讲：划分的逻辑（The Logic of Partitions）
• 第 11 讲：划分的偏序集（The Poset of Partitions）
• 第 12 讲：生成效应（Generative Effects）
• 第 13 讲：拉回划分（Pulling Back Partitions）
• 第 14 讲：伴随、并和交（Adjoints, Joins and Meets）
• 第 15 讲：保持并和交（Preserving Joins and Meets）
• 第 16 讲：偏序集的伴随函子定理（The Adjoint Functor Theorem for Posets）
• 第 17 讲：大综合（The Grand Synthesis）

第二章：资源理论（Resource Theories）

• 第 18 讲：资源理论（Resource Theories）
• 第 19 讲：化学与调度（Chemistry and Scheduling）
• 第 20 讲：制造（Manufacturing）
• 第 21 讲：幺半预序（Monoidal Preorders）
• 第 22 讲：对称幺半预序（Symmetric Monoidal Preorders）
• 第 23 讲：交换幺半偏序集（Commutative Monoidal Posets）
• 第 24 讲：资源定价（Pricing Resources）
• 第 25 讲：反应网络（Reaction Networks）
• 第 26 讲：幺半单调映射（Monoidal Monotones）
• 第 27 讲：幺半单调映射的伴随（Adjoints of Monoidal Monotones）
• 第 28 讲：忽略外部性（Ignoring Externalities）
• 第 29 讲：丰富范畴（Enriched Categories）
• 第 30 讲：将预序视为丰富范畴（Preorders as Enriched Categories）
• 第 31 讲：Lawvere 度量空间（Lawvere Metric Spaces）
• 第 32 讲：丰富函子（Enriched Functors）
• 第 33 讲：收尾（Tying Up Loose Ends）

第三章：数据库（Databases）

• 第 34 讲：范畴（Categories）
• 第 35 讲：范畴与预序（Categories versus Preorders）
• 第 36 讲：从图构造范畴（Categories from Graphs）
• 第 37 讲：范畴的表示（Presentations of Categories）
• 第 38 讲：函子（Functors）
• 第 39 讲：数据库（Databases）
• 第 40 讲：关系（Relations）
• 第 41 讲：函子的复合（Composing Functors）
• 第 42 讲：数据库变换（Transforming Databases）
• 第 43 讲：自然变换（Natural Transformations）
• 第 44 讲：范畴、函子与自然变换（Categories, Functors and Natural Transformations）
• 第 45 讲：自然变换的复合（Composing Natural Transformations）
• 第 46 讲：同构（Isomorphisms）
• 第 47 讲：伴随函子（Adjoint Functors）
• 第 48 讲：伴随函子（续）
• 第 49 讲：Kan 扩展（Kan Extensions）
• 第 50 讲：左 Kan 扩展（Left Kan Extensions）
• 第 51 讲：右 Kan 扩展（Right Kan Extensions）
• 第 52 讲：Hom-函子（The Hom-Functor）
• 第 53 讲：自由与遗忘函子（Free and Forgetful Functors）
• 第 54 讲：收尾

第四章：协作设计（Collaborative Design）

• 第 55 讲：丰富预层与协作设计（Enriched Profunctors and Collaborative Design）
• 第 56 讲：可行性关系（Feasibility Relations）
• 第 57 讲：可行性关系（续）
• 第 58 讲：可行性关系的复合（Composing Feasibility Relations）
• 第 59 讲：成本增强的丰富预层（Cost-Enriched Profunctors）
• 第 60 讲：闭幺半预序（Closed Monoidal Preorders）
• 第 61 讲：闭幺半预序（续）
• 第 62 讲：丰富预层（Enriched Profunctors）
• 第 63 讲：丰富预层的复合（Composing Enriched Profunctors）
• 第 64 讲：丰富预层的范畴（The Category of Enriched Profunctors）
• 第 65 讲：协作设计（Collaborative Design）
• 第 66 讲：协作设计（续）
• 第 67 讲：协作设计中的反馈（Feedback in Collaborative Design）
• 第 68 讲：协作设计中的反馈（续）
• 第 69 讲：协作设计中的反馈（续）
• 第 70 讲：丰富预层的张量积（Tensoring Enriched Profunctors）
• 第 71 讲：丰富预层的帽与杯（Caps and Cups for Enriched Profunctors）
• 第 72 讲：幺半范畴（Monoidal Categories）
• 第 73 讲：弦图与严格化（String Diagrams and Strictification）
• 第 74 讲：紧闭范畴（Compact Closed Categories）
• 第 75 讲：大综合（The Grand Synthesis）
• 第 76 讲：大综合（续）
• 第 77 讲：结束？不，只是开始！（The End? No, the Beginning!）

© 2018 John Baez

关键要点

• 课程基于 Fong 和 Spivak 的《Seven Sketches in Compositionality》一书，强调用范畴论解决实际问题，而非纯理论证明。
• 内容从有序集和预序的基本概念出发，逐步引入 Galois 连接、伴随、逻辑等，适合初学者。
• 第二章将范畴论应用于资源理论，包括化学、调度、制造、定价和反应网络，展示如何用幺半预序建模资源流动。
• 第三章讨论数据库，用范畴和函子表示数据库模式，自然变换用于数据库迁移，体现范畴论在数据管理中的实用性。
• 第四章聚焦协作设计，使用丰富预层